You are currently viewing Pewniaki na Egzamin Ósmoklasisty z matematyki

Pewniaki na Egzamin Ósmoklasisty z matematyki

Pewniaki na Egzamin Ósmoklasisty z matematyki: Zadania, które pojawiają się co roku

Niektórych typów zadań można spodziewać się na niemal każdym Egzaminie Ósmoklasisty. Wcale nie jest on taki straszny, jak mogłoby się wydawać, jeżeli opanuje się kilka schematów, które są kluczem do sukcesu.

Procenty – najczęściej występujący typ zadań

Procenty pojawiają się co roku w zadaniach zamkniętych, jak i otwartych.

  • Obliczanie procentu z danej liczby: Pamiętaj, że p% to inaczej ułamek p⁄100. Aby obliczyć procent z liczby, mnożysz ją przez ten ułamek.

    Przykład: 15% z 200 to inaczej 15⁄100 · 200 = 0,15 · 200 = 30.

  • Podwyżki i obniżki cen:
    1. Gdy cena rośnie o p%, mnożymy przez (1 + p⁄100).
    2. Gdy cena spada o p%, mnożymy przez (1 − p⁄100).
  • Zadania typu „o ile procent…”:
    Wzór zawsze wygląda tak samo: różnica cen⁄cena początkowa · 100%.

Warto pamiętać: 15% z 200 ma taką samą wartość co 200% z 15. Bardzo często może to przyspieszyć rozwiązywanie zadania.

Przykłady zadań egzaminacyjnych:

Czerwiec 2025
Takie same hulajnogi są sprzedawane w sklepach A, B, C. W sklepie B cena hulajnogi stanowi 80% ceny hulajnogi w sklepie A. W sklepie C cena hulajnogi stanowi 120% ceny hulajnogi w sklepie B.
Uzasadnij, że cena hulajnogi w sklepie C jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie A. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:

  1. Oznaczamy zmienne:
    • x – cena hulajnogi w sklepie A
    • 0,8x – cena hulajnogi w sklepie B
  2. Obliczamy cenę hulajnogi w sklepie C:
    0,8x · 1,2 = 0,96x
    Skoro 0,96x < x, możemy stwierdzić, że cena w sklepie C jest niższa niż w A.

Maj 2022
Do wykonania naszyjnika Hania przygotowała 4 korale srebrne, 8 korali czerwonych i kilka korali zielonych. Następnie ze wszystkich przygotowanych korali zrobiła naszyjnik. Zielone korale stanowią 20% wszystkich korali w zrobionym naszyjniku.
Oblicz, ile zielonych korali jest w naszyjniku. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:
Wiemy, że korali srebrnych i czerwonych mamy łącznie 4 + 8 = 12 oraz, że stanowią one 80% wszystkich korali. Przez x oznaczmy liczbę wszystkich korali. Wtedy:

0,8x = 12
x = 12⁄0,8 = 12 · 10⁄8 = 15

Zatem, skoro wszystkich korali jest 15, w tym 12 srebrnych i czerwonych, to zielonych jest:

15 − 12 = 3

Mamy więc 3 korale zielone.

Równania

Równania są bazą do rozwiązywania trudniejszych zadań tekstowych. Warto jednak pamiętać o kilku rzeczach:

  • Wszystkie wyrazy z x przenosimy na jedną stronę, a liczby na drugą.
  • Jeżeli w równaniu masz ułamek, pomnóż obustronnie równanie przez wartość mianownika. Sprawi to, że rozwiązanie zadania stanie się prostsze.

Zadania tekstowe z równaniami mogą sprawiać problem na etapie oznaczania zmiennych. Najprostszym sposobem, by sobie z tym poradzić, jest oznaczanie przez x rzeczy, która ma najmniejszą wartość.

Przykład:
Trzy siostry, Ala, Ola i Kasia, zbierały grzyby. Ola zebrała 2 razy więcej grzybów niż Ala, a Kasia o 5 grzybów więcej niż Ola. Razem dziewczynki zebrały 40 grzybów. Ile grzybów zebrała każda z nich?

  1. Oznaczamy niewiadome:
    • Liczba grzybów Ali: x
    • Liczba grzybów Oli: 2x
    • Liczba grzybów Kasi: 2x + 5
  2. Układamy równanie:
    x + 2x + (2x + 5) = 40
  3. Rozwiązujemy równanie:
    • Redukujemy wyrazy podobne: 5x + 5 = 40
    • Przenosimy liczbę na drugą stronę: 5x = 35
    • Dzielimy przez 5: x = 7

Wiemy zatem, że Ala ma 7 grzybów, Ola 14, a Kasia 19.

Przykładowe zadania egzaminacyjne:

Czerwiec 2026
Gra polega na rzucaniu piłką do kosza. Jeśli rzut jest celny, to liczba dotychczas zdobytych punktów jest zwiększana o 5 punktów. Jeśli rzut jest nietrafiony, to liczba dotychczas zdobytych punktów jest zmniejszana o 4 punkty. Janek rozpoczął grę z wynikiem 0 punktów. Liczba celnych rzutów Janka jest trzy razy większa niż liczba rzutów, w których Janek nie trafił piłką do kosza. W rezultacie Janek zgromadził 132 punkty.
Oblicz, ile razy Janek trafił piłką do kosza. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:

  1. Oznaczamy zmienne:
    • x – liczba celnych rzutów
    • 1⁄3x – liczba nietrafionych rzutów
    • 5x – liczba punktów otrzymanych za celne rzuty
    • 4 · 1⁄3x – liczba punktów straconych za nietrafione rzuty
  2. Zapisujemy równanie na ilość rzutów celnych:
    5x − 4⁄3x = 132
    15x − 4x = 396
    11x = 396
    x = 36

Mamy zatem 36 rzutów celnych. Warto zrobić sprawdzenie i policzyć, czy liczba rzutów nietrafionych jest naturalna: 1⁄3 · 36 = 12.
Nasz wynik jest poprawny, zatem liczba rzutów celnych to 36.

Geometria – figury płaskie i przestrzenne

Geometria na egzaminie niemal zawsze zawiera kilka stałych motywów:

  1. Twierdzenie Pitagorasa (a2 + b2 = c2): Musisz je znać na pamięć. Występuje przy trójkątach prostokątnych, w zadaniach o prostokątach, rombach i trapezach.

  1. Kąty: Własności kątów wierzchołkowych, przyległych, naprzemianległych oraz suma kątów w trójkącie (180°) i wielokątach.
    Wzór na sumę kątów w wielokątach to: (n − 2) · 180°

  1. Pola powierzchni: Wzory na pole kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trójkątów, koła i trapezu są bardzo ważnym elementem Egzaminu.
    • Pole kwadratu: P = a2
    • Pole prostokąta: P = a · b
    • Pole rombu: P = e · f⁄2
    • Pole równoległoboku: P = a · h
    • Pole trójkąta równobocznego: P = a2√3⁄4
    • Pole dowolnego trójkąta: P = a · h⁄2
    • Pole koła: P = πr2
    • Długość koła (obwód): L = 2πr
    • Pole trapezu: P = (a + b) · h⁄2

Przykładowe zadania egzaminacyjne:

Czerwiec 2026
Proste k i l są równoległe. Na prostej l zaznaczono punkty D, A, B, a na prostej k zaznaczono punkty C i E. Odcinek CD jest prostopadły do prostych k i l. Kąt ACD ma miarę 40° i kąt ECB ma miarę 26°.
Czy trójkąt ABC jest równoramienny? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie:
Wiemy, że kąty ECB i ABC są naprzemianległe, więc |∠ABC| = 26°.
Skoro odcinek CD jest prostopadły do prostej l, oznacza to, że |∠CDB| = 90°.
Możemy więc zapisać: |∠BCA| = 90° − 40° − 26° = 24°.
Suma miar w trójkącie wynosi 180°, więc |∠CAB| = 180° − 24° − 26° = 130°.
Aby trójkąt był równoramienny, musi posiadać dwa kąty tej samej miary. W trójkącie ABC nie możemy ich wskazać, zatem trójkąt ten nie jest równoramienny.

Czerwiec 2026
Dany jest trapez prostokątny ABCD, którego długość boku BC jest równa 8 cm, a kąt DAB ma miarę 45°. Długość boku AB jest trzy razy większa od długości boku CD.
Oblicz pole trapezu ABCD. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:
Dorysujmy wysokość trapezu ABCD wychodzącą z wierzchołka D. Wtedy trójkąt AED jest równoramienny. Zatem |CB| = |AE| = |ED| = 8 cm.
Wiemy, że długość boku AB jest trzy razy większa od CD. Skoro |AE| = 8 cm, to 8 + x = 3x. Zatem x = 4.

Liczymy pole trapezu:

P = (12 + 4) · 8⁄2 = 16 · 8⁄2 = 64

Pole trapezu jest więc równe 64 cm2.

Dodaj komentarz